运筹学第4版课后习题答案详解
《运筹学》（第4版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】】
第一部分为名校考研真题及详解。本部分从指定运筹学教材编写组《运筹学》（第4版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第二部分为课后习题及详解。对运筹学教材编写组《运筹学》（第4版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案经过多次修改，质量上乘，特别适合应试作答和临考冲刺。
第三部分为章节题库及详解。严格按照运筹学教材编写组《运筹学》（第4版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
第四部分为模拟试题及详解。参照运筹学教材编写组《运筹学》（第4版）教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了两套考前模拟试题，并提供详尽的解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
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《运筹学》第4版课后习题答案解析
第2章 线性规划与目标规划
2．1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解?
（1）
解：如图2-1所示，该问题的可行域为有界域。目标函数在点A3处取得最大值，求解方程组
可得A3的坐标为（2，4），所以，该线性规划问题具有惟一最优解。
图2-1
（2）
解：如图2-2所示，该线性规划问题的可行域无界。目标函数在点A处取得最小值，求解方程组得A点的坐标为，所以，，该问题具有惟一最优解。
图2-2
（3）
解：如图2-3所示，该问题的可行域无界。目标函数可以增加到无穷大，因此该问题具有无界解。
图2-3
（4）
解：如图2-4所示，该问题的可行域为空集，因此该线性规划无可行解。
图2-4
2．2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）
解：令，且；在第一个约束条件两边同时乘以-1后引入人工变量，在第二个约束条件右端加上松弛变量；在第三个约束条件右端减去剩余变量，同时加入人工变量，将目标函数最小化变换为最大化，得该线性规划的标准型
其中，M为充分大的正数，对应的初始单纯形表如表2-1所示：
表2-1
（2）
解：在上述约束条件两边同时乘以-1，然后分别引入人工变量，得该线性规划的标准型
其中，M为充分大的正数。对应的初始单纯形表如表2-2所示：
表2-2
2．3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解，指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定哪一个是最优解。
（1）
解：在第二个约束条件两边同时乘以-1，得到该线性规划问题的系数矩阵
①因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，故有基可行解，。
②因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，故，不是可行解。
③因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，故有基可行解，。
④因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，故有基可行解，。
⑤因、线性无关，故有
令非基变量，解得，不是可行解。
⑥因、线性无关，故有
令非基变量，解得，不是可行解。
在中，为最大值，所以最优解，。
（2）
解：其系数矩阵为
①因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，不是可行解。
②因为、线性无关，故有
令非基变量，解得为基可行解，。
③因为、线性无关，故有
令非基变量，解得，不是可行解。
④因为、线性无关，故有
令非基变量，解得为基可行解，。
⑤因为、线性无关，故有
令非基变量，解得为基可行解，。
⑥因为、线性相关，故不能构成基变量。
在中，为最大值，所以最优解，。
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2．4用单纯形法求解习题2.1中的线性规划问题。
解（1）标准型为
max z=x1+3x2+0x3+0x4+0x5
s.t.
使用单纯形法求解，得到单纯形表：
表2-3
| cj | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | θi | ||
| CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | |
| 0 | x3 | 50 | 5 | 10 | 1 | 0 | 0 | 5 |
| 0 | x4 | -1 | -1 | [-1] | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | x5 | 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 0 | x3 | 40 | -5 | 0 | 1 | 10 | 0 | 4 |
| 3 | x2 | 1 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | － |
| 0 | x5 | 3 | -1 | 0 | 0 | [1] | 1 | 3 |
| -2 | 0 | 0 | 3 | 0 | ||||
| 0 | x3 | 10 | [5] | 0 | 1 | 0 | -10 | 2 |
| 3 | x2 | 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | － |
| 0 | x4 | 3 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | － |
| 1 | 0 | 0 | 0 | -3 | ||||
| 1 | x1 | 2 | 1 | 0 | 1／5 | 0 | -2 | |
| 3 | x2 | 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | x4 | 5 | 0 | 0 | 1／5 | 1 | -1 | |
| 0 | 0 | -1／5 | 0 | -1 | ||||
由表2-3得最优解X*=（2，4，0，5，0）T，max z=14。
（2）标准型为：
min z=x1+1.5x2+0x3+0x4+Mx5+Mx6，M为无穷大正数。
s.t.
使用单纯形法求解，得到单纯形表，如表2-4所示。
表2-4
| cj | 1 | 1.5 | 0 | 0 | M | M | θi | ||
| CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | |
| M | x5 | 3 | 1 | ［3］ | －1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| M | x6 | 2 | 1 | 1 | 0 | －1 | 0 | 1 | 2 |
| －5M | 1－2M | 1.5－4M | M | M | 0 | 0 | |||
| 1.5 | x2 | 1 | 1/3 | 1 | －1/3 | 0 | 1/3 | 0 | 3 |
| M | x2 | 1 | [] | 0 | 1/3 | －1 | －1/3 | 1 | 3/2 |
| －M－1.5 | 0 | M | 0 | ||||||
| 1.5 | x2 | 1/2 | 0 | 1 | －1/2 | 1/2 | 1/2 | －1/2 | |
| 1 | x1 | 3/2 | 1 | 0 | 1/2 | －3/2 | －1/2 | 3/2 | |
| －9/4 | 0 | 0 | 1/4 | 3/4 | |||||
由表2-4得最优解X*=（3／2，1／2，0，0，0，0），min z=9／4。
（3）标准型为：
max z=2x1+2x2+0x3+0x4
s.t.
使用单纯形法求解，得到单纯形表如表2-5所示：
表2-5
| cj | 2 | 2 | 0 | 0 | θi | ||
| CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | |
| 0 | x3 | 1 | -1 | [1] | 1 | 0 | 1 |
| 0 | x4 | 2 | -1/2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 0 | 0 | ||||
| 2 | x2 | 1 | -1 | 1 | 1 | 0 | － |
| 0 | x4 | 1 | [1／2] | 0 | -1 | 1 | 2 |
| 4 | 0 | -2 | 0 | ||||
| 2 | x2 | 3 | 0 | 1 | -1 | 2 | － |
| 2 | x1 | 2 | 1 | 0 | -2 | 2 | － |
| 0 | 0 | 6 | -8 | ||||
由表2-5可知，非基变量x3的检验数为6>0，但其系数均小于0，因此线性规划问题为无界解。
（4）标准型为：
max z=x1+x2+0x3+0x4
s.t.
使用单纯形法求解，得到单纯形表：
表2-6
| cj | 1 | 1 | 0 | 0 | θi | ||
| CB | XB | b | x1 | x2 | x3 | x4 | |
| 0 | x3 | 0 | —1 | [1] | 1 | 0 | 0 |
| 0 | x4 | -3 | 3 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||
| 1 | x2 | 0 | [-1] | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | x4 | -3 | 2 | 0 | 1 | 1 | － |
| -1 | 2 | 0 | -1 | 0 | |||
| 1 | x1 | 0 | 1 | [-1] | -1 | 0 | 0 |
| 0 | x4 | -3 | 0 | 2 | 3 | 1 | － |
| -1 | 0 | 2 | 1 | 0 | |||
| 1 | x2 | 0 | -1 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | x4 | -3 | 2 | 0 | 1 | 1 | |
| -1 | 2 | 0 | -1 | 0 | |||
由表2-6可知，此线性规划问题无解。
2．5以
为例用图解法，具体说明当目标函数中变量的系数怎样改变时，使满足约束条件的可行域的每一个顶点，都有可能使目标函数值达到最优。
解：（1）当时，目标函数，令
①若，则当时，目标函数在点A3（4，0）处取得最大值；当时，目标函数在原点（0，0）处取得最大值；
②若，则当时，目标函数在点A2处取得最大值，其中时，在线段A2A3上的任一点取得最大值；当时，目标函数在原点处取得最大值；
③若，则当时，目标函数在点A1（0，3）处取得最大值，其中时，在线段A1A2上的任一点取得最大值；当时，目标函数在坐标原点处取得最大值；
④若，则当时，目标函数在点A1（0，3）处取得最大值；当时，目标函数在点A3（4，0）处取得最大值。
（2）当时，目标函数
①当时，目标函数在点A3（4，0）处取得最大值；
②当时，目标函数在可行域OA1A2A3中的任一点处均可取得最大值；
③当时，目标函数在线段OA1上的任一点取得最大值。
……
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