工程数学线性代数同济大学第6版复习笔记

达聪 • 2023年7月12日 am9:10 • 升学考研

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★资料名称：同济大学数学系《工程数学—线性代数》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

资料链接：https://dacai.100xuexi.com/EBook/1002356.html
第1章行列式
1.1 复习笔记
一、行列式的性质（见表1-1）
表1-1 行列式的性质

二、行列式按行（列）展开（见表1-2）
表1-2 行列式按行（列）展开

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1.2 课后习题详解
1利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）原式＝2×（－4）×3＋0×（－1）×（－1）＋1×1×8－1×（－4）×（－1）－2×（－1）×8－0×1×3＝－4。
（2）原式＝acb＋bac＋cba－c³－a³－b³＝3abc－a³－b³－c³。
（3）原式＝1·b·c²＋1·c·a²＋1·a·b²－1·b·a²－1·c·b²－1·a·c²＝bc²＋ca²＋ab²－ba²－cb²－ac²＝c²（b－a）＋ab（b－a）－c（b²－a²）＝（a－b）（b－c）（c－a）。
（4）原式＝x（x＋y）y＋yx（x＋y）＋（x＋y）yx－（x＋y）³－x³－y³＝－2（x³＋y³）。
2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
（2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1；
（4）2 4 1 3；
（5）13…（2n－1）24…（2n）；
（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2。
解：（1）该排列为标准排列，所以其逆序数为0。
（2）该排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，所以其逆序数为：0＋1＋1＋2＝4。
（3）该排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，所以其逆序数为：0＋0＋2＋3＝5。
（4）该排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，所以其逆序数为：0＋0＋2＋1＝3。
（5）该排列中前n位元素的逆序数均为0，第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0，因此该排列的逆序数为：（n－1）＋（n－2）＋…＋0＝n（n－1）/2。
（6）该排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4，……，末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为：2＋4＋…＋2（n－1）＝n（n－1）。