茆诗松概率论与数理统计教程第3版复习笔记划重点

茆诗松《概率论与数理统计教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

1．整理名校笔记。对重难点进行了整理，浓缩了该教材的知识精华。
2．解析课后习题。参考了国内外配套资料和其他教材的相关知识对该教材的课（章）后习题进行了详细的分析和解答。
3．精选考研真题。总结历年考研真题出题思路，通过练习强化对重要知识点的理解。
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第2章 随机变量及其分布

2.1 复习笔记
一、随机变量及其分布（见表2-1-1）

表2-1-1 随机变量及其分布
注：当F（x）在a与b处连续时，有F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）。
二、随机变量的数学期望
数学期望的性质
（1）定理：若随机变量X的分布用分布p（xi）或用密度函数p（x）表示，若X的某一函数g（X）的数学期望存在，则

（2）E（c）＝c（c为常数）。
（3）E（aX）＝aE（X）（a为常数）。
（4）E（g1（x）±g2（x））＝E（g1（x））±E（g2（x））。
三、随机变量的方差与标准差
1方差的性质
（1）Var（X）＝E（X2）－[E（X）]2。
（2）Var（c）＝0（c为常数）。
（3）Var（aX＋b）＝a2Var（X）（a、b为常数）。
2切比雪夫不等式
（1）定理一（切比雪夫不等式）
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε＞0，有或

（2）定理二

若随机变量x的方差存在，则Var（X）＝0的充要条件是X几乎处处为某个常数a，即P（X＝a）＝1。

四、常用离散分布

1常用离散分布的期望和方差（见表2-1-2）

表2-1-2 常用离散分布的期望和方差

2二项分布的泊松近似

泊松定理：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为pn（与试验次数n有关），如果当n→∞时，

有npn→λ，则。

3几何分布的无记忆性

定理（几何分布的无记忆性）：设X～Ge（P），则对任意正整数m与n有P（X＞m＋n|X＞m）＝P（X＞n）。

五、常用连续分布

1标准正态分布N（0，1）

（1）φ（－u）＝1－φ（u）；

（2）P（U＞u）＝1－φ（u）；

（3）P（a＜U＜b）＝φ（b）－φ（a）；

（4）P（|U|＜c）＝2φ（c）－1（c≥0）。

2正态变量的标准化正态分布

定理：若随机变量X～N（μ，σ2），则U＝（X－μ）/σ～N（0，1）。

3正态分布的3σ原则

设随机变量X～N（μ，σ2），则

尽管正态变量的取值范围是（－∞，∞），但它的99.73%的值落在（μ－3σ，μ＋3σ）内。

4常用连续分布的期望与方差（见表2-1-3）

表2-1-3连续分布的期望和方差

六、连续随机变量函数的分布（见表2-1-4）

表2-1-4 Y＝g（X）的分布

七、分布的其他特征数（见表2-1-5）

表2-1-5 分布的其他特征数

 完整版链接：

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