奥本海姆信号与系统第二版课后题答案

达聪 • 2022年7月20日 am10:45 • 升学考研

奥本海姆《信号与系统》（第2版）笔记和课后习题答案详解

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奥本海姆《信号与系统》（第2版）教材章节课后习题答案解析

1-1 用笛卡儿坐标形式（x＋yj）表示下列复数。

e^jπ/2，e^－^jπ/2，e^jπ/2，e^－^jπ/2，e^j5π/2，，，，

解：利用欧拉公式：

和复平面性质

有：

e^jπ/2＝（cosπ）/2＋（jsinπ）/2＝－1/2，e^－^jπ/2＝（cosπ）/2－（jsinπ）/2＝－1/2

e^jπ/2＝cos（π/2）＋jsin（π/2）＝j，e^－^jπ/2＝cos（π/2）－jsin（π/2）＝－j

e^j5π/2＝e^jπ/2＝cos（π/2）＋jsin（π/2）＝j

【总结】笛卡儿坐标形式（x＋yj）表示复数的时候，核心是找到对应的实部x和虚部y。大多数情况需要利用到欧拉公式e^jθ＝cosθ＋jsinθ展开，另外虚指数信号具有周期性，也就是e^jθ＝e^j^（θ^±2mπ^）＝cosθ＋jsinθ。

1-2 用极坐标形式（re^jθ，－π＜θ≤π）表示下列复数。

5，－2，－3j，，1＋j，（1－j）²，j（1－j），（1＋j）/（1－j），

解：根据5，－2，－3j，，1＋j，（1－j）²，j（1－j），（1＋j）/（1－j），

有：

5＝5cos0＋5jsin0＝5e^j0

－2＝2cosπ＋2jsinπ＝e^jπ

－3j＝3cos（－π/2）＋j3sin（－π/2）＝3e^－^jπ/2

（1－j）²＝－2j＝2cos（－π/2）＋j2sin（－π/2）＝2e^－^jπ/2

1-3 对下列每一个信号求P_∞和E_∞。

（a）x₁（t）＝e^－^2tu（t）。

（b）x₂（t）＝e^j^（^2t^＋^π/4^）。

（c）x₃（t）＝cos（t）。

（d）x₁[n]＝（1/2）ⁿu[n]。

（e）x₂[n]＝e^j[π/^（²ⁿ^）＋^π/8]。

（f）x₃[n]＝cos（πn/4）。

解：（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

【总结】连续时间信号和离散时间信号的能量和功率的计算公式不一样。

对于连续时间信号：能量

功率

对于离散时间信号：能量

功率

1-4 设n＜－2和n＞4时x[n]＝0，对以下每个信号确定其值保证为零的n值。

（a）x[n－3]。

（b）x[n＋4]。

（c）x[－n]。

（d）x[－n＋2]。

（e）x[－n－2]。

解：（a）x[n－3]＝0，（n－3）＜－2或（n－3）＞4，即x[n－3]＝0，n＜1或n＞7。

（b）x[n＋4]＝0，（n＋4）＜－2或n＋4＞4，即x[n＋4]＝0，n＜－6或n＞0。

（c）x[－n]＝0，（－n）＜－2或（－n）＞4，即x[－n]＝0，n＜－4或n＞2。

（d）x[－n＋2]＝0，（－n＋2）＜－2或（－n＋2）＞4，即x[－n＋2]＝0，n＜－2或n＞4。

（e）x[－n－2]＝0，（－n－2）＜－2或（－n－2）＞4，即x[－n－2]＝0，n＜－6或n＞0。

1-5 设t＜3时x（t）＝0，确定以下每个信号的值保证为零的t值。

（a）x（1－t）。

（b）x（1－t）＋x（2－t）。

（c）x（1－t）x（2－t）。

（d）x（3t）。

（e）x（t/3）。

解：（a）x（1－t）＝0，（1－t）＜3，即x（1－t）＝0，t＞－2。

（b）x（1－t）＋x（2－t）＝0，（1－t）＜3且（2－t）＜3，即x（1－t）＋x（2－t）＝0，t＞－1。

（c）x（1－t）x（2－t）＝0，（1－t）＜3或（2－t）＜3，即x（1－t）x（2－t）＝0，t＞－2。

（d）x（3t）＝0，（3t）＜3，即x（3t）＝0，t＜1。

（e）x（t/3）＝0，（t/3）＜3，即x（t/3）＝0，t＜9。

1-6 判断下列信号的周期性。

（a）x₁（t）＝2e^j^（^t^＋^π/4^）u（t）。

（b）x₂[n]＝u[n]＋u[－n]。

（c）

解：（a）由于存在u（t），也就是只有t＞0的时候x₁（t）才有图像，因此一定是非周期的。

（b）由于

所以x₂[n]也不具备周期性。

（c）

因此根据周期函数用卷积表示的方法判断出，x₃[n]的周期为4。

1-7 对以下每个信号求信号的偶部保证为零的所有自变量值。

（a）x₁[n]＝u[n]－u[n－4]。

（b）x₂（t）＝sin（t/2）。

（c）x₃[n]＝（1/2）ⁿu[n－3]。

（d）x₄（t）＝e^－^5tu（t＋2）。

解：（a）

只有当|n|＞3时，Ev{x₁[n]}＝0。

（b）Ev{x₂（t）}＝（1/2）·{sin（t/2）＋sin（－t/2）}＝（1/2）·{sin（t/2）－sin（t/2）}＝0；即对一切t，Ev{x₂（t）}＝0。

（c）

由于

所以当|n|＜3及|n|切有时，Ev{x₃[n]}＝0

（d）Ev{x₄（t）}＝（1/2）·{e^－^5tu（t＋2）＋e^5tu（－t＋2）}，由于

所以只有当|t|有当时，Ev{x₄（t）}＝0。

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奥本海姆信号与系统第2版课后习题答案

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1-8 将下列信号的实部表示成Ae^－^atcos（ωt＋f）的形式，其中A，a，ω和f都是实数，A＞0且－π＜f≤π。

（a）x₁（t）＝－2。

（b）

（c）x₃（t）＝e^－^tsin（3t＋π）。

（d）x₄（t）＝je^（－²^＋^j100^）^t。

解：（a）Re{x₁（t）}＝x₁（t）＝2e^－⁰^·^tcos（0·t＋π），即A＝2，a＝0，ω＝0，Φ＝π。

（b）

即Re{x₂（t）}＝cos（3t）＝e^－⁰^·^tcos（3t＋0），即A＝1，a＝0，ω＝3，f＝0。

（c）x₃（t）＝e^－^tsin（3t＋π）＝e^－^tsin（3t＋π/2＋π/2）＝e^－^tcos（3t＋π/2）

Re{x₃（t）}＝x₃（t）＝e^－^tcos（3t＋π/2），即A＝1，a＝1，ω＝3，Φ＝π/2。

（d）x₄（t）＝je^（－²^＋^j100^）^t＝e^－^2te^j^（^100t^＋^π/2^）＝e^－^2tcos（100t＋π/2）＋e^－^2tjsin（100t＋π/2）

Re{x₄（t）}＝1·e^－2tcos（100t＋π/2），即A＝1，a＝2，ω＝100，Φ＝π/2。

1-9 判断下列信号的周期性。若是周期的，给出它的基波周期。

（a）x₁（t）＝je^j10t。

（b）x₂（t）＝e^（－¹^＋^j^）^t。

（c）x₃[n]＝e^j7^πⁿ。

（d）x₄[n]＝3e^j3^π^（ⁿ^＋^1/2^）^/5。

（e）x₅[n]＝3e^j^（^3/5^）（ⁿ^＋^1/2^）。

解：（a）x₁（t）＝je^j10t＝e^j^（^10t^＋^π^/2^）＝cos（10t＋π/2）＋jsin（10t＋π/2），故x₁（t）为周期信号，基波周期T＝2π/10＝π/5。

（b）x₂（t）＝e^（－¹^＋^j^）^t＝e^－^t·e^jt＝e^－^tcos（t）＋je^－^tsin（t），故x₂（t）不是周期信号。

（c）x₃[n]＝e^j7^πⁿ＝cos（7πn）＋jsin（7πn）⇒ω₀/（2π）＝7π/（2π），即m/N＝7/2，故x₃[n]是周期序列，基波周期N＝2。

（d）

则ω₀/（2π）＝（3π/5）/（2π）＝3/10，即m/N＝3/10，故x₄[n]是周期序列，基波周期N＝10。

（e）x₅[n]＝3e^j^（^3/5^）（ⁿ^＋^1/2^）＝3e^j^（^3n/5^＋^3/10^）＝3cos（3n/5＋3/10）＋3jsin（3n/5＋3/10），又ω₀/（2π）＝（3/5）/（2π）＝3/（10π），为无理数，故x₅[n]不是周期序列。

1-10 求信号x（t）＝2cos（10t＋1）－sin（4t－1）的基波周期。

解：由于cos（10t＋1）和sin（4t－1）都为周期信号，且ω₁＝10，ω₂＝4，ω₁：ω₂＝5：2＝m₁：m₂，故x（t）的基波周期为：T＝m_i·（2π/ω_i）＝5×2π/10（或2×2π/4）＝π。

1-11 求信号x[n]＝1＋e^j4πn/7－e^j2πn/5的基波周期。

解：对于e^j4πn/7，其ω₁＝4π/7，ω₁/（2π）＝2/7为有理数，所以e^j4πn/7是周期信号。同样，e^j2πn/5中ω₂＝2π/5，ω₂/（2π）＝1/5为有理数，故e^j2πn/5也是周期信号。又e^j4πn/7的基波周期N₁＝7，e^j2πn/5的基波周期N₂＝5，N₁与N₂的最小公倍数为35，所以x[n]的基波周期为N＝35。