同济大学高等数学第7版考点知识笔记整理

同济大学数学系高等数学第七版考点归纳

第1章 函数与极限【复习笔记】

一、映射与函数

1函数

（1）函数的性质（见表1-1）

表1-1 函数的性质

（2）反函数与复合函数

①反函数的特点

a．函数f和反函数f^－1的单调性一致。

b．f的图像和f^－1的图像关于直线y＝x对称。

②复合函数

g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。

（3）函数的运算

设函数f（x），g（x）的定义域为D_f，D_g，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算

和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。

积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。

商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。

（4）初等函数

5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

二、数列的极限

1数列极限的定义

数列{x_n}收敛于a⇔⇔∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有|x_n－a|＜ε。

数列{x_n}是发散⇔不存在。

2收敛数列的性质

（1）唯一性

如果数列{x_n}收敛，则它的极限唯一。

（2）有界性

如果数列{x_n}收敛，则数列{x_n}一定有界。

①有界数列：存在正数M，使得对于一切x_n都满足不等式|x_n|≤M。

②无界数列：不存在正数M，使得对于一切x_n都满足不等式|x_n|≤M。

（3）保号性

如果，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有x_n＞0（或x_n＜0）。

推论：如果数列{x_n}从某项起有x_n≥0（或x_n≤0）且，则a≥0（或a≤0）。

（4）收敛数列与其子数列间的关系

①如果数列{x_n}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

②如果数列{x_n}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{x_n}是发散的。

③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

三、函数的极限

1函数极限的定义

（1）函数f（x）极限的两种情形

①自变量x趋于有限值x₀时函数的极限

只有及都存在并且相等时，x→x₀时极限存在。

②自变量x趋于无穷大时函数的极限

⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。

2函数极限的性质

（1）唯一性

如果存在，则这极限唯一。

（2）局部有界性

如果，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有|f（x）|≤M。

（3）局部保号性

①如果，且A＞0（或A＜0），则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。

②如果，则存在着x₀的某一去心邻域U°（x₀），当x∈U°（x₀）时，有|f（x）|＞|A|/2。

③如果在x₀的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且，则A≥0（或A≤0）。

（4）函数极限与数列极限的关系

如果极限存在，{x_n}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足：x_n≠x₀（n∈N_＋），则相应的函数值数列{f（x_n）}必收敛，且。

四、无穷小与无穷大

1无穷小

若，称f（x）是x→x₀时的无穷小量。

2无穷大

（1）定义

若，称f（x）是x→x₀时的无穷大量。

（2）渐近线

设曲线y＝f（x）

①斜渐近线y＝kx＋b

特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b。

②垂直渐近线

若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为x＝x₀。

内容来源

同济大学数学系《高等数学》笔记和课后答案

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3无穷大与无穷小之间的关系

在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则1/f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则1/f（x）为无穷大。

五、极限运算法则

1极限运算法则相关定理

（1）定理1

两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小。

（2）定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

①推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。

②推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。

（3）定理3

如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则

①lim[f（x）±g（x）]＝limf（x）±limg（x）＝A±B；

②lim[f（x）·g（x）]＝limf（x）·limg（x）＝A·B；

③若又有B≠0，则lim（f（x）/g（x））＝limf（x）/limg（x）＝A/B

a．推论1：如果limf（x）存在，而c为常数，则lim[cf（x）]＝climf（x）；

b．推论2：如果存在，而n是正整数，则lim[f（x）]ⁿ＝[limf（x）]ⁿ。

（4）定理4

设有数列{x_n}和{y_n}，，则

①；

②；

③当y_n≠0（n＝1，2，…）且B≠0时，。

（5）定理5

如果φ（x）≥ψ（x），而limφ（x）＝A，limψ（x）＝B，则A≥B。

（6）定理6（复合函数的极限运算法则）

设函数y＝f[g（x）]是由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，f[g（x）]在点x₀的某去心邻域内有定义，若，，且存在δ₀＞0，当x∈U（x₀，δ₀）时，有g（x）≠u₀，则

2x→x₀时有理分式函数的极限

设多项式f（x）＝a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋…＋a_n，则

又设有理分式函数F（x）＝P（x）/Q（x），其中P（x），Q（x）都是多项式，于是

如果Q（x₀）≠0，则

注：若Q（x₀）＝0则关于商的极限的运算法则不能应用，那就需要特别考虑。

六、极限存在准则及两个重要极限

1极限存在准则

（1）夹逼准则

①夹逼准则1

如果数列{x_n}，{y_n}及{z_n}满足下列条件：

a．从某项起，即∃n₀∈N_＋，当n＞n₀时，有y_n≤x_n≤z_n；

b．，则数列{x_n}的极限存在，且。

②夹逼准则2

a．当x∈U°（x₀，r）（或|x|＞M）时，g（x）≤f（x）≤h（x）；

b．，则存在，且等于A。

（2）单调有界准则

单调有界数列必有极限。

（3）左极限存在准则

设函数f（x）在点x₀的某个左邻域内单调并且有界，则f（x）在x₀的左极限f（x₀^－）必定存在。

（4）柯西极限存在准则

数列{x_n}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m＞N，n＞N时，有|x_n－x_m|＜ε。

2两个重要极限

，

3常见函数的极限

（1）。

（2）。

（3）（令t＝arcsinx）。

（4）（令t＝－x）。

（5）（sinx有界，1/x（x→∞）为无穷小），。

（6），其中a₀≠0，b₀≠0，m和n为非负整数。

（7）幂指函数的极限

一般地，对于形如u（x）^v（x）（u（x）＞0，u（x）≠1）的函数（通常称为幂指函数），如果limu（x）＝a＞0，limv（x）＝b，limu（x）^v（x）＝a^b。

注：这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限。

4有关sinx，x，tanx的不等式

sinx＜x＜tanx，∀x∈（－π/2，0）或（0，π/2）

七、无穷小的比较

1相关无穷小的定义（见表1-2）

表1-2 相关无穷小的定义

2定理

设α～α～，β～β～且lim（β～/α～）存在，则lim（β/α）＝lim（β～/α～）。

3常用的等价无穷小

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1－cosx～x²/2（x→0），ln（1＋x）～x（x→0），e^x－1～x（x→0），（1＋x）^α－1～αx（x→0）

八、函数的连续性与间断点

……

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