周世勋量子力学教程第2版课后题答案

周世勋《量子力学教程》第二版第二章课后习题详解

2.1 证明在定态中,概率流密度与时间无关。

解:对于定态波函数有

所以由概率流密度定义公式可得

显而易见,J与t无关。

2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:(1)ψ1=(1/r)exp(ikr);(2)ψ2=(1/r)exp(-ikr)。从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波。

解:在球坐标中

(1)由概率流密度定义公式可得

J1r同向,表示向外传播的球面波。

(2)

可见,J2r反向,表示向原点传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。

解:题中U(x)与t无关,所以由定态薛定谔方程即可求解本征值和本征函数

在各区域的具体形式为

Ⅰ:x<0

ψ1(x)=0①

Ⅱ:0≤x≤a

Ⅲ:x>a

ψ3(x)=0③

方程②可变为

令k2=2mE/(ħ2),得

其解为:

ψ2(x)=Asinkx+Bcoskx④

根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得

ψ2(0)=ψ1(0)⑤

ψ2(a)=ψ3(a)⑥

则B=0,进而Asinka=0。因为A≠0,所以sinka=0,则ka=nπ(n=1,2,3,…),因此

ψ2(x)=Asin(nπ/a)x

由归一化条件

本征能量为En=[π2ħ2/(2ma2)]n2(n=1,2,3,…)

本征波函数为

2.4 证明下式中的归一化因子是

证明:

由归一化,得

所以归一化常数,为方便起见,可以取α=0,即得

内容来源 周世勋《量子力学教程》第2版考点笔记课后答案
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2.5 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。

解:

得:x=0,x=±1/α,x=±∞。

检验所得数值是否为最大值的位置

只有x=±1/2带入的结果为负值。可见是所求几率最大的位置。

2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

解:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

将式中的x以(-x)代换,d2/dx2不变,由此可得

利用U(-x)=U(x),得

所以ψ(-x)=cψ(x)④

因此由ψ(x)=cψ(-x)⑤

由④乘⑤得:

ψ(x)ψ(-x)=c2ψ(x)ψ(-x)

可见,c2=1,得c=±1。

因此,当c=+1时,ψ(-x)=ψ(x),则ψ(x)具有偶宇称;当c=-1时,ψ(-x)=-ψ(x),则ψ(x)具有奇宇称。

所以当势场满足U(-x)=U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。

2.7 一粒子在一维势阱中运动。求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程。

解:粒子所满足的薛定谔方程为

Ⅰ:

Ⅱ:

Ⅲ:

则方程变为

Ⅰ:

Ⅱ:

Ⅲ:

各方程的解为:;ψ2=Csink2x+Dcosk2x;

由波函数的有限性,有:ψ1(-∞)有限,则A=0;ψ3(∞)有限,则E=0。因此,

再根据波函数及其导函数的连续性,有:ψ1(-a)=ψ2(-a),ψ2(a)=ψ3(a);ψ1′(-a)=ψ2′(-a),ψ2′(a)=ψ3′(a)。

整理得

解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式。要使方程组有非零解,必须

化简得

因为,则

为所求束缚态能级所满足的方程。

【注】本题也可以根据复习笔记中所提到的U(-x)=U(x)这个特点,把所求的波函数分成满足奇宇称和偶宇称两种情况来讨论,这样能简化求解过程中的繁杂计算。

2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程。

解:定态薛定谔方程为

Ⅰ:

ψ1(x)=0(x<0)

Ⅱ:

Ⅲ:

Ⅳ:

对于本题势能对应的束缚态来说,有E<0。

整理可得

各方程的解分别为:ψ1=0;;ψ3=Csink3x+Dcosk3x;

由波函数及其一阶导数的连续性条件得

ψ2(0)=ψ1(0),则A+B=0;

ψ2=2Asinhk2x,ψ4(∞)有限,则E=0;

ψ2(a)=ψ3(a),则2Asinhk2a=Csink3a+Dcosk3a;

ψ2′(a)=ψ3′(a),则2k2Acoshk2a=Ck3cosk3a-Dk3sink3a;

ψ3(b)=ψ4(b),则

ψ3′(b)=ψ4′(b),则

将上述几个方程看做以A、C、D、F为自变量的四元一次方程组,有非平凡解的条件是系数行列式为0,即应满足

整理得

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。

 完整版链接:/Ebook/967980.html

【目录】达聪学习网“量子力学教程第二版复习笔记课后习题答案”

第1章 绪 论

 1.1 复习笔记

 1.2 课后习题详解

 1.3 名校考研真题详解

第2章 波函数和薛定谔方程

 2.1 复习笔记

 2.2 课后习题详解

 2.3 名校考研真题详解

第3章 量子力学中的力学量

 3.1 复习笔记

 3.2 课后习题详解

 3.3 名校考研真题详解

第4章 态和力学量的表象

 4.1 复习笔记

 4.2 课后习题详解

 4.3 名校考研真题详解

第5章 微扰理论

 5.1 复习笔记

 5.2 课后习题详解

 5.3 名校考研真题详解

第6章 散 射

 6.1 复习笔记

 6.2 课后习题详解

 6.3 名校考研真题详解

第7章 自旋与全同粒子

 7.1 复习笔记

 7.2 课后习题详解

 7.3 名校考研真题详解

第8章 量子力学若干进展

 8.1 复习笔记

 8.2 课后习题详解

 8.3 名校考研真题详解

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