周世勋量子力学教程第2版课后题答案
周世勋《量子力学教程》第2版笔记和课后习题答案详解
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周世勋《量子力学教程》第二版第二章课后习题详解
2.1 证明在定态中,概率流密度与时间无关。
解:对于定态波函数有
所以由概率流密度定义公式可得
显而易见,J与t无关。
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:(1)ψ1=(1/r)exp(ikr);(2)ψ2=(1/r)exp(-ikr)。从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波。
解:在球坐标中
(1)由概率流密度定义公式可得
J1与r同向,表示向外传播的球面波。
(2)
可见,J2与r反向,表示向原点传播的球面波。
2.3 一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:题中U(x)与t无关,所以由定态薛定谔方程即可求解本征值和本征函数
在各区域的具体形式为
Ⅰ:x<0
ψ1(x)=0①
Ⅱ:0≤x≤a
②
Ⅲ:x>a
ψ3(x)=0③
方程②可变为
令k2=2mE/(ħ2),得
其解为:
ψ2(x)=Asinkx+Bcoskx④
根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得
ψ2(0)=ψ1(0)⑤
ψ2(a)=ψ3(a)⑥
则B=0,进而Asinka=0。因为A≠0,所以sinka=0,则ka=nπ(n=1,2,3,…),因此
ψ2(x)=Asin(nπ/a)x
由归一化条件
得
则
本征能量为En=[π2ħ2/(2ma2)]n2(n=1,2,3,…)
本征波函数为
2.4 证明下式中的归一化因子是
证明:
由归一化,得
所以归一化常数,为方便起见,可以取α=0,即得
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2.5 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
解:
令
得:x=0,x=±1/α,x=±∞。
检验所得数值是否为最大值的位置
只有x=±1/2带入的结果为负值。可见是所求几率最大的位置。
2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
解:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的x以(-x)代换,d2/dx2不变,由此可得
②
利用U(-x)=U(x),得
③
所以ψ(-x)=cψ(x)④
因此由ψ(x)=cψ(-x)⑤
由④乘⑤得:
ψ(x)ψ(-x)=c2ψ(x)ψ(-x)
可见,c2=1,得c=±1。
因此,当c=+1时,ψ(-x)=ψ(x),则ψ(x)具有偶宇称;当c=-1时,ψ(-x)=-ψ(x),则ψ(x)具有奇宇称。
所以当势场满足U(-x)=U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。
2.7 一粒子在一维势阱中运动。求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程。
解:粒子所满足的薛定谔方程为
Ⅰ:
Ⅱ:
Ⅲ:
令
则方程变为
Ⅰ:
Ⅱ:
Ⅲ:
各方程的解为:;ψ2=Csink2x+Dcosk2x;
由波函数的有限性,有:ψ1(-∞)有限,则A=0;ψ3(∞)有限,则E=0。因此,,。
再根据波函数及其导函数的连续性,有:ψ1(-a)=ψ2(-a),ψ2(a)=ψ3(a);ψ1′(-a)=ψ2′(-a),ψ2′(a)=ψ3′(a)。
整理得
解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式。要使方程组有非零解,必须
化简得
因为,则
即
为所求束缚态能级所满足的方程。
【注】本题也可以根据复习笔记中所提到的U(-x)=U(x)这个特点,把所求的波函数分成满足奇宇称和偶宇称两种情况来讨论,这样能简化求解过程中的繁杂计算。
2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为
求束缚态的能级所满足的方程。
解:定态薛定谔方程为
Ⅰ:
ψ1(x)=0(x<0)
Ⅱ:
Ⅲ:
Ⅳ:
对于本题势能对应的束缚态来说,有E<0。
整理可得
各方程的解分别为:ψ1=0;;ψ3=Csink3x+Dcosk3x;
由波函数及其一阶导数的连续性条件得
ψ2(0)=ψ1(0),则A+B=0;
ψ2=2Asinhk2x,ψ4(∞)有限,则E=0;
ψ2(a)=ψ3(a),则2Asinhk2a=Csink3a+Dcosk3a;
ψ2′(a)=ψ3′(a),则2k2Acoshk2a=Ck3cosk3a-Dk3sink3a;
ψ3(b)=ψ4(b),则
ψ3′(b)=ψ4′(b),则
将上述几个方程看做以A、C、D、F为自变量的四元一次方程组,有非平凡解的条件是系数行列式为0,即应满足
整理得
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。
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【目录】达聪学习网“量子力学教程第二版复习笔记课后习题答案”
第1章 绪 论
1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解 第2章 波函数和薛定谔方程 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解 第3章 量子力学中的力学量 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解 第4章 态和力学量的表象 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解 |
第5章 微扰理论
5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解 第6章 散 射 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解 第7章 自旋与全同粒子 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解 第8章 量子力学若干进展 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解 |
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