孟道骥《高等代数与解析几何》第3版课后习题详解

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第1章 多项式
第1节 数域
1、举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子。
解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭。
2、举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子。
解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭。
3、举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子。
解：集合S＝{2n|n∈N}，{1}，{2m＋1|m∈Z}与集合{m|p∤m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭。
4、试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭。
证明：可设P≠∅，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P。又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－（－a）∈P。故P若对减法封闭，则必对加法封闭。
5、试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭。
证明：设P≠∅，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P。又因为1÷a＝a－1∈P，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a－1∈P。因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭。
6、令

试证明是一个数域。
证明：由题目易知，若

则有

即对加法和减法都封闭。又因为

则对乘法封闭。
下面需证明对除法是封闭的。由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：
若

则成立。
下面分为三种情形讨论：
（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，。
（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是

且a3＋5≠0。因此。
（3）c≠0，此时可设，于是

因此有
由情形（2）及乘法的封闭性可知。故是数域。

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第2节 一元多项式

1、设P是数域。f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且f（x）＋g（x）＝f（x）＋h（x）。试证g（x）＝h（x）。

证明：由题意知f（x）＋g（x）＝f（x）＋h（x），于是有

故结论成立。

2、设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且f（x）≠0，f（x）g（x）＝f（x）h（x）。试证g（x）＝h（x）。

证明：由题意有f（x）g（x）＝f（x）h（x），则f（x）（g（x）－h（x））＝0，再由f（x）≠0，因此结论成立。

3、设f（x），g（x）∈P[x]，f（x）≠0，g（x）≠0，又deg（f（x）g（x））＝degg（x）。试证f（x）＝c∈P。

证明：因为degf（x）＋degg（x）＝deg（f（x）g（x））＝degg（x），所以degf（x）＝0，故f（x）＝c∈P。

4设m，n∈N，f（x）∈P[x]。归纳定义f¹（x）＝（f（x））¹＝f（x），fⁿ（x）＝（f（x））ⁿ＝f（x）f^n－1（x），试证

1）fⁿ（x）f^m（x）＝f^m＋n（x）；

2）（fⁿ（x））^m＝f^mn（x）；

3）（f（x）g（x））ⁿ＝fⁿ（x）gⁿ（x）；

4）

这里f⁰（x），g⁰（x）定义为1。

证明：1）对m，n作双重归纳证明。由fⁿ（x）的定义，可知对任何m有f（x）f^m（x）＝f^1＋m（x）。现设对于n，有fⁿ（x）f^m（x）＝f^n＋m（x）成立，则

f^n＋1（x）f^m（x）＝（f（x）fⁿ（x））f^m（x）＝f（x）（fⁿ（x）f^m（x））＝f（x）f^n＋m（x）＝f^n＋1＋m（x）

因此结论1）成立。

2）当m＝1时，结论显然成立。设m时，结论成立，于是由结论1）有

（fⁿ（x））^m＋1＝fⁿ（x）（fⁿ（x））^m＝fⁿ（x）f^mn（x）＝f^n＋mn（x）＝f^n（m＋1）（x）

则结论2）成立。

3）n＝1时，结论显然成立。设n时，结论成立，于是有

因此结论3）成立。

4）n＝1时，结论显然成立。设n时，结论成立，于是有

因此结论4）成立。

……

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