曾谨言量子力学教程第3版课后题答案

曾谨言量子力学教程第3版课后习题详解一

1-1 设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为E＝∫Wd³r，式中

（b）证明能量守恒公式

证明：（a）由力学量的平均值可得：粒子能量平均值为（设ψ已归一化）

其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见《量子力学教程》，18页脚注），所以

（b）按能量密度W和能流密度s的定义和含时薛定谔方程

因此

曾谨言量子力学教程第3版课后习题详解二

1-2 考虑单粒子的Schrodinger方程

V₁与V₂为实函数。

（a）证明粒子的概率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为

证明：由已知Schrodinger方程

①

取复共轭

②

①×ψ*－②×ψ得

利用Stokes定理将体积分转化为面积分，可得

对于可归一化波函数，当τ→∞，上式第一项（面积分）为0，而V₂≠0，所以不为0，即粒子数不守恒。

曾谨言量子力学教程第3版课后习题详解三

1-3 对于一维自由粒子

（a）设波函数为

试用Hamilton算符

对ψ_p（x）运算，验证

说明动量本征态ψ_p（x）是Hamilton量（能量）本征态，能量本征值为E＝p²/（2m）

（b）设粒子在初始（t＝0）时刻，ψ（x，0）＝ψ_p（x），求ψ（x，t）

（c）设波函数为

可以看成无穷多个平面波e^ikx的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问ψ（x）＝δ（x）是否是能量本征态？

（d）设粒子在t＝0时刻ψ（x，0）＝δ（x），求ψ（x，t）。

解：（a）利用已知条件带入可得

所以动量本征态ψ_p（x）是Hamilton量（能量）的本征态，能量本征值为E＝p²/（2m）。

（b）其Fourier变换为

由于ψ（x，0）是能量本征态，因此，

（c）对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于δ（x）是无穷多个动量本征态的叠加，所以ψ（x）＝δ（x）不是动量本征态，即可以推知它也不是能量本征态。

（d）因为ψ（x，0）＝δ（x），由傅里叶变换可得：

所以

计算中利用了积分公式

或

所以

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曾谨言《量子力学教程》第3版笔记+课后答案

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曾谨言量子力学教程第3版课后习题详解四

1-4 设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包

（1）证明初始时刻，，

（2）计算t时刻的波函数

解：（1）在坐标表象中，利用力学量的平均值公式可得，初始时刻

由傅里叶变换的逆变换可得

所以，在动量表象中，利用力学量的平均值公式可得：

（2）利用傅里叶变换和已知条件可得，在t＞0时的波函数

可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，对比上面所求x的改变量的平均值逐渐增大。

曾谨言量子力学教程第3版课后习题详解五

1-5 设一维自由粒子的初态为ψ（x，0），证明在足够长时间后，

式中

是ψ（x，0）的Fourier变换

提示：利用

证明：根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律e^ikx→e^{i（kx－ωt）}，式中

所以利用傅里叶变换可得时刻t的波函数为

当时间足够长后（t→∞），利用积分公式

对比可知，上式被积函数中指数函数具有δ函数的性质，即

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