同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题（含考研真题）详解

同济大学数学系《高等数学》第7版课后习题答案详解 【完整内容点击文中链接获取】

第1章 函数与极限

1、求下列函数的自然定义域：

（1）；（2）y＝1/（1－x²）；

（3）；（4）；

（5）；（6）y＝tan（x＋1）；

（7）y＝arcsin（x－3）；（8）；

（9）y＝ln（x＋1）；（10）y＝e^1/x。

解：（1）3x＋2≥0⇒x≥－2/3，故其定义域为[－2/3，＋∞）。

（2）1－x²≠0⇒x≠±1，故其定义域为（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，＋∞）。

（3）x≠0且1－x²≥0⇒x≠0且|x|≤1，故其定义域为[－1，0）∪（0，1]。

（4）4－x²＞0⇒|x|＜2，故其定义域为（－2，2）。

（5）x≥0，故其定义域为[0，＋∞）。

（6）x＋1≠kπ＋π/2（k∈Z），故其定义域为{x|x∈R且x≠（k＋1/2）π－1，k∈Z}。

（7）|x－3|≤1⇒2≤x≤4，故其定义域为[2，4]。

（8）3－x≥0且x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，3]。

（9）x＋1＞0⇒x＞－1，故其定义域为（－1，＋∞）。

（10）x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）。

2、下列各题中，函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？

（1）f（x）＝lgx²，g（x）＝2lgx；

（2）f（x）＝x，；

（3）；

（4）f（x）＝1，g（x）＝sec²x－tan²x。

解：（1）函数f（x）和g（x）不同，因其定义域不同。

（2）函数f（x）和g（x）不同，因其对应法则不同，

（3）函数f（x）和g（x）相同，因其定义域、对应法则均相同。

（4）函数f（x）和g（x）不同，因其定义域不同。

3、设

求φ（π/6），φ（π/4），φ（－π/4），φ（－2），并作出函数y＝φ（x）的图形。

解：

y＝φ（x）的图形如图1-2-1所示。

图1-2-1

内容来源	同济大学《高等数学》（第7版）笔记和课后答案

4、试证下列函数在指定区间内的单调性：

（1）y＝x/（1－x），（－∞，1）；

（2）y＝x＋lnx，（0，＋∞）。

证：（1）y＝x/（1－x）＝－1＋1/（1－x），（－∞，1）。

设x₁＜x₂＜1，因为

所以f（x₂）＞f（x₁），即f（x）在（－∞，1）内单调增加。

（2）设0＜x₁＜x₂，因为f（x₂）－f（x₁）＝x₂＋lnx₂－x₁－lnx₁＝x₂－x₁＋ln（x₂/x₁）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），所以f（x）在（0，＋∞）内单调增加。

5、设f（x）为定义在（－l，l）内的奇函数，若f（x）在（0，l）内单调增加，证明f（x）在（－l，0）内也单调增加。

证：设－l＜x₁＜x₂＜0，则0＜－x₂＜－x₁＜l，因为f（x）是奇函数，所以f（x₂）－f（x₁）＝－f（－x₂）＋f（－x₁），又因为f（x）在（0，1）内单调增加，所以f（－x₁）－f（－x₂）＞0，从而f（x₂）＞f（x₁），即f（x）在（－l，0）内也单调增加。

6、设下面所考虑的函数都是定义在区间（－l，l）上的。证明：

（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

证：（1）设f₁（x），f₂（x）均为偶函数，则f₁（－x）＝f₁（x），f₂（－x）＝f₂（x）。

令F（x）＝f₁（x）＋f₂（x），于是F（－x）＝f₁（－x）＋f₂（－x）＝f₁（x）＋f₂（x）＝F（x），故F（x）为偶函数。

设g₁（x），g₂（x）均为奇函数，则g₁（－x）＝－g₁（x），g₂（－x）＝－g₂（x），令G（x）＝g₁（x）＋g₂（x），于是G（－x）＝g₁（－x）＋g₂（－x）＝－g₁（x）－g₂（x）＝－G（x），故G（x）为奇函数。

（2）设f₁（x），f₂（x）均为偶函数，则f₁（－x）＝f₁（x），f₂（－x）＝f₂（x），令F（x）＝f₁（x）·f₂（x），于是F（－x）＝f₁（－x）·f₂（－x）＝f₁（x）f₂（x）＝F（x），故F（x）为偶函数。

设g₁（x），g₂（x）均为奇函数，则g₁（－x）＝－g₁（x），g₂（－x）＝－g₂（x），令G（x）＝g₁（x）·g₂（x），于是G（－x）＝g₁（－x）·g₂（－x）＝[－g₁（x）][－g₂（x）]＝g₁（x）g₂（x）＝G（x），

故G（x）为偶函数。

设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），令H（x）＝f（x）·g（x），于是H（－x）＝f（－x）·g（－x）＝f（x）[－g（x）]＝－f（x）·g（x）＝－H（x），故H（x）为奇函数。

……

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